成都戴氏总结:数学解题时的14个优先策略
2015-10-23 15:56 来源: 戴氏教育

很多同学都反馈,老师讲的都懂了?为啥遇到新题就蒙了呢?成都戴氏老师温馨提醒:1、老师讲的你真的都懂了吗?请自己先试着做一遍验证一下再回答!2、老师讲的定理公式你都明白并记住了吗?如果这两天你的回答都是:是!好,那就继续看下面的解题策略吧!
 
 
1、好心态优先的策略
 
沉着冷静,从容镇定,战略上藐视问题,战术上重视问题,胆大心细,有大将风度,才会令解题者左右逢源,妙计叠出,否则只会“逻辑乱套,直觉失效,没有题感,死得很惨”。
 
2、审题优先的策略
 
审已知,审隐含条件,审解题目标,审命题意图。要牢记审题口诀“逐字逐句逐标点,边读边画边联想”,要特别寻找题目中的关键词,还有那些括号里面的注记式的内容常常是被解题者忽略的,却肯定是命题者和阅卷者看重的。
 
3、设计优先的策略
 
审题完毕,也莫着急,易见之途,常是弯的。尤其是解析几何中的问题,表面上看思路并不难,但如果贸然动笔,则很可能运算繁难,正所谓“望山跑煞马”也。解题不设计,越解越生气。方案若繁难,就得换主意。事实上,按照匈牙利数学家G-波利亚在其名著[怎样解题]中的说法,解题中必须先设计方案,再动手解决(执行方案)。只有在设计出最优方案以后再动手,才不至于浪费时间。
 
4、定性优先的策略
 
何谓定性?就是在大方向上对问题的类型和性质进行识别与判断,首先是用定义去进行比照。例如,这个问题是排列问题还是组合问题?要看它是有序的还是无序的;这个问题是应该用加法原理去做还是应该用乘法原理去做?
 
要看它是分类完成还是分步完成;如果是概率统计方面的问题,则它是四大概型(等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验中某事件发生k次的概率——贝努利概型)中的哪一类型?离散型随机变量是服从四大分布(一点分布、两点分布、二项分布、几何分布)中的哪一种分布?给你一个立体图形或者圆锥曲线图形,它是已经固定了还是可以变化?若是可以变化,主变量是什么?
 
5、定位优先的策略
 
立体几何中求二面角的大小,则它的平面角在哪里?在图中找出来就可以了还是需要作出来?使用三垂线定理解题,基本平面在哪里?它的“两足”(垂足与斜足)在哪里?涉及圆锥曲线问题,它的焦点在什么位置?在x轴上还是y轴上?中心在哪里?根据图象求正弦函数或者余弦函数的解析式,需要求它的初相,那么它的第一零点在哪里?
 
6、定义域优先的策略
 
在解函数题时,这一条极其重要。如判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原点对称;对变量进行换元,要记住“换元必换域”的口诀,比如令sinx+cosx=t,必须随即写上新变量t的取值范围;复合函数的内层函数的值域是外层函数的定义域,等等。
 
7、定义法优先的策略
定义是知识的生长点,用定义法解题是回归本源的高明方法。波利亚解题法中就有“回到定义去”的重要提醒句。
 
8、前提优先的策略
 
用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等”,否则用单调性解决;涉及等比数列问题,它的公比的取值情形如何?凡是欲使用韦达定理或判别式解题,要先问方程的二次项系数是否为零?
 
9、范围优先的策略
 
在三角函数这个内容里面,有一句口诀叫做“求角先求函数值,总要优先定范围”。
 
10、特情优先的策略
 
命题者出于考查严谨性的考虑,一般都有意识地在题目中设置一些特殊情况作为问题的一个小分支,这个小分支本身并不难,但要求解题者不要漏掉。
 
比如:分母为零吗?二次项系数为零吗?等比数列的公比为1吗?直线方程的斜率存在吗?斜率为零吗?直线方程中截距为零吗?集合问题中考虑集合为空集的情形了吗?所给的集合是点集还是数集?端点值能够取到吗?求数列通项公式时,第一项是否不符合通项公式而需要单列呢?解题时要做到“先为不可胜而待敌之可胜” ,就要养成特情优先的良好习惯。
 
11、整体法优先的策略
 
此法堪称第五大数学思想,它是全局思想在解题中的体现。换元法解方程,等积法求三角形的高或求点面距离,用射影面积法求二面角的大小,解析几何中的“点差法”解决中点弦问题,解复杂方程组时的整体消元,平均值法解决有关排列组合数问题,等等,都是运用这一思想的体现。另外,三角题中有一类求值问题,用解二次方程组的方法则繁难之至,而用“凑角法”则很简单。
 
12、间接法优先的策略
 
间接法体现了思维的灵活性,所谓“间接法”有两层意思,一是从反面考虑问题,二是从侧面考虑问题。凡有关“至多、至少”问题,使用从反面考虑问题的间接法,一般都比较简便,这一点在解决有关概率统计问题时尤其明显,在解有关排列组合问题上也是如此,原因是可以避免繁杂的分类讨论;此外,解小题(填空题或者选择题),优先使用从侧面考虑问题的间接法,是赢得时间的重要策略,这里就不赘述了。
 
13、结构优先的策略
 
解数学题是要有结构眼光,因为结构决定功能。无论是对式子的结构还是图形的结构,都要保持足够的敏感度。
 
例如看到形如 的式子或者形如的式子,你是否想到它有表示“距离”的几何意义?
 
看到形如分式之类的式子,你是否想到它可以理解为斜率公式或者是定比分点公式?
 
再如,看到这类式子,你是否意识到它可能用上均值不等式。
 
解析几何中,有些线段本身就是焦点弦或者是焦半径;立体几何中,有些图形是经典的三垂线结构或者三余弦结构,有些图形本身就是从正方体中切下来的一部分;等等。意识到这一点,往往就容易找到破题的口子。
 
14、易处优先的策略
 
解决任何问题,都不免会碰到困难,人们的一个策略就是先易后难,逐步解决。体现在对待数学问题的态度上,当然也是如此。数学解答题,常常是一设多问,难度逐渐加大,解答时候就应该遵循这个顺序。


 
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